Giải mục 2 trang 107, 108, 109, 110 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Khám Phá Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Tuyệt Vời Tại gamemodapk.org
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Khác với các phương pháp truyền thống, gamemodapk.org ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, gamemodapk.org tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Biết rằng hai đường thẳng a và b nằm trong \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(a\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(b\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\).
Hoạt động 2
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Biết rằng hai đường thẳng a và b nằm trong \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(a\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(b\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\).
a) Vì sao \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là hai mặt phẳng phân biệt?
b) Nếu \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\) theo giao tuyến c thì c có song song với a và b hay không?
c) Nếu a cắt b tại M thì \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có thể có điểm chung hay không ?
Phương pháp giải:
a) Hai mặt phẳng phân biệt là hai mặt phẳng không trùng nhau.
b) Cho a // (P). Nếu (Q) chứa a và (Q) cắt (P) theo giao tuyến b thì a // b.
c) Chứng minh phản chứng (Giả sử \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung).
Lời giải chi tiết:
a) Nếu \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) trùng nhau thì a, b song song với \(\left( \alpha \right)\)
Mà a, b nằm trong \(\left( \alpha \right)\) (Mâu thuẫn)
Vậy \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là hai mặt phẳng phân biệt.
b) \(a\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\), \(b\,{\rm{//}}\left( \beta \right)\)
Mà \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\) theo giao tuyến c nên a // c, b // c.
c) Giả sử \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung. Vì \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\) là 2 mặt phẳng phân biệt nên \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\)
Theo phần b, suy ra a // c // b (Mâu thuẫn)
Vậy nếu a cắt b tại M thì \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\) không có điểm chung.
Luyện tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD).
Phương pháp giải:
Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN // AB. Suy ra MN // (ABCD).
Xét tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC nên NP // BC. Suy ra NP // (ABCD).
Vậy (MNP) // (ABCD).
Hoạt động 3
Cho điểm A nằm ngoài một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\). Trong \(\left( \beta \right)\), lấy hai đường thẳng cắt nhau a và b. Vẽ các đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) qua A và lần lượt song song với a, b. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng xác định bởi \({d_1}\) và \({d_2}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\,{\rm{//}}\,a\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_1}\,{\rm{//}}\,\left( \beta \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{d_2}\,{\rm{//}}\,b\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_2}\,{\rm{//}}\,\left( \beta \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \({d_1}\), \({d_2}\) cắt nhau tại A và cùng song song với \(\left( \beta \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).
Vậy mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không điểm chung.
Luyện tập 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Lấy M là trung điểm của đoạn AD. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAC). Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp đã cho.
Phương pháp giải:
Kẻ 2 đường thẳng đi qua M và song song với 2 đường thẳng trong (SAC).
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác SAD, vẽ đường thẳng đi qua M, song song với SA, cắt SD tại E (tức ME là đường trung bình của tam giác SAD), suy ra ME // (SAC) (1).
Trong tam giác ACD, vẽ đường thẳng đi qua M, song song với AC, cắt CD tại F (tức MF là đường trung bình của tam giác ACD), suy ra MF // (SAC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra (ME, MF) // (SAC), do đó (MEF) là \(\left( \alpha \right)\).
\(\begin{array}{l}\left( {MEF} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MF\\\left( {MEF} \right) \cap \left( {SAD} \right) = ME\\\left( {MEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = EF\end{array}\)
Luyện tập 4
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của SA. Một đường thẳng d đi qua M và song song với mặt phẳng (ABC) nhưng không song song với BC. Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SBC).
Phương pháp giải:
Kẻ đường thẳng đi qua M và song song với một đường thẳng nằm trong (SBC) khác BC.
Lời giải chi tiết:
Trong tam giác SAB, vẽ đường thẳng d đi qua M và song song với AB, cắt SB tại D (tức MD là đường trung bình của tam giác SAB), suy ra MD // (ABC).
Vậy giao điểm của d với (ABC) là D.
Hoạt động 4
Cho mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) cắt hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a và b có điểm chung hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng song song thì song song hoặc chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng a, b lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên a và b song song hoặc chéo nhau.
Luyện tập 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn AD = 2BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và SD.
a) Chứng minh rằng (SAB) // (CIK).
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Lấy M là điểm bất kì trên đoạn CD, đường thẳng OM cắt CI, AB lần lượt tại N, P và SM cắt CK tại Q. Chứng minh rằng SP // NQ.
Phương pháp giải:
a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
b) Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác SAD có I, K lần lượt là trung điểm của AD, SD nên IK // SA.
Ta có có AD // BC (ABCD là hình thang), AI = BC nên ABCI là hình bình hành. Suy ra IC // AB.
Vậy (CIK) // (SAB).
b)
\(\begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SPM} \right) = SP\\\left( {CIK} \right) \cap \left( {SPM} \right) = NQ\end{array}\)
Mà (SAB) // (CIK) (cmt) nên SP // NQ.
Tại Sao Cần Quan Tâm Đến Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập?
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, gamemodapk.org đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Khác với các phương pháp truyền thống, gamemodapk.org ứng dụng công nghệ để tối ưu hóa việc phân phối tài liệu học tập và giải bài tập đến tay bạn. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Mẹo Hay Cùng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại gamemodapk.org đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.
Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Nền tảng gamemodapk.org được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Chính vì vậy, gamemodapk.org luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Bằng cách tham khảo ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thàn... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, gamemodapk.org đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Nền tảng gamemodapk.org được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Chính vì vậy, gamemodapk.org luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.
Câu Hỏi Thường Gặp Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại gamemodapk.org có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Các tài liệu học tập và giải bài t.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại gamemodapk.org có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Các tài liệu.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại gamemodapk.org có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Bằng cách tham khảo tài .
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, gamemodapk.org đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Nền tảng gamemodapk.org được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.